Для этого сначала приведем уравнение окружности к каноническому виду, а именно, приведем его к виду [tex] (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2 [/tex].

Сначала преобразуем уравнение окружности:
[tex] x^2 + y^2 + z^2 - 12x + 4y - 6z + 24 = 0 [/tex].

Перенесем все слагаемые со знаком минус в правую часть уравнения:
[tex] x^2 - 12x + y^2 + 4y + z^2 - 6z = -24 [/tex].

Далее, для завершения квадратного уравнения по [tex] x[/tex], [tex] y[/tex] и [tex] z[/tex], нужно добавить к [tex] x[/tex] член [tex] (-12/2)^2 = 36[/tex].

[tex] x^2 - 12x + 36 + y^2 + 4y + z^2 - 6z = -24 + 36 [/tex]
[tex] (x-6)^2 + y^2 + 4y + z^2 - 6z = 12 [/tex].

Далее, для завершения квадратного уравнения по [tex] y[/tex], и [tex] z[/tex], нужно добавить к [tex] y[/tex] член [tex] (4/2)^2 = 4[/tex].

[tex] (x-6)^2 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 6z = 12 [/tex]
[tex] (x-6)^2 + (y+2)^2 + z^2 - 6z = 12 [/tex].

Отсюда мы видим, что координаты центра окружности [tex] (x_0, y_0, z_0) [/tex] это [tex] (6, -2, 3) [/tex].
Радиус [tex] r [/tex] равен [tex] 2\sqrt{3}[/tex].

Теперь найдем точку пересечения прямой и окружности.
Подставим уравнение окружности в уравнение прямой и решим систему уравнений.

[tex] 2x + 2y + z + 1 = 0 [/tex]
[tex] 2x + 2y = -z - 1 [/tex]
[tex] z = -2x - 2y - 1 [/tex]

[tex] (x-6)^2 + (y+2)^2 + z^2 - 6z = 12 [/tex]
[tex] (x-6)^2 + (y+2)^2 + (-2x - 2y - 1)^2 - 6(-2x - 2y - 1) = 12 [/tex]
[tex] (x-6)^2 + (y+2)^2 + 4x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy + 4x + 4y - 2x^2 - 2y^2 -2x -2y + 12x+12y+6 = 12 [/tex]
[tex] 5x^2 + 5y^2 + 12x + 12y - 14x - 14y + 6 = 0 [/tex]

Упростим уравнение:
[tex] 5x^2 - 2x - 2y + 5y^2 - 14y +6 = 0 [/tex]

Найдем координаты точек пересечения.