Для начала найдем радиус основания цилиндра.
Поскольку сечение образовало квадрат, то диагональ квадрата равна диаметру основания цилиндра.
Таким образом, радиус основания цилиндра равен половине диагонали, то есть 2 корня из 2 см.

Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле: S = 2πrh, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Для нахождения высоты цилиндра найдем длину хорды, отсекаемой сечением на окружности основания. Эта длина равна радиусу окружности, умноженному на sin$30°$ $половина60°$.
Таким образом, длина хорды равна 2корень из 2 sin$30°$ = 2 корня из 2 0.5 = корень из 2.

Теперь найдем высоту цилиндра по теореме Пифагора:
h = sqrt$(4\ast sqrt(2){)}^2-(sqrt(2){)}^2$ = sqrt$32-2$ = sqrt$30$

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:
S = 2 π 2 корня из 2 sqrt$30$ = 4π корень из 60 = 4π 2 корень из 15 = 8π корень из 15.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и дважды площади основания:
S = 8π корень из 15 + 2π $2корняиз2$^2 = 8π корень из 15 + 2π 4 = 8π корень из 15 + 8π = 8π $кореньиз15+1$ = 8π$1+кореньиз15$ см^2.