Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольный ромб ABCD.

Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, то точка пересечения диагоналей (обозначим ее E) является центром окружности, описанной около ромба.

Докажем, что эта окружность также вписана в ромб ABCD.

Так как угол BAD равен углу BCD (так как это углы при вершинах ромба), а угол ADB равен углу CDB (так как это вертикальные углы), то треугольники ADB и CDB равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, эти треугольники равнобедренные.

Отсюда следует, что длины отрезков AE и DE равны (по свойству равнобедренного треугольника), что означает, что отрезок DE является диаметром описанной окружности, а значит, что она вписана в ромб ABCD.

Таким образом, в любой ромб можно вписать окружность.