Пусть сторона квадрата равна a.

Тогда диагональ квадрата (и радиус описанной окружности) равна a*sqrt(2).

Так как радиус вписанной окружности касается сторон квадрата, то он равен половине длины стороны, то есть a/2.

Из подобия треугольников, где больший прямоугольный треугольник является половиной диагонали квадрата, а меньший - это радиус описанной и вписанной окружностей, имеем:

a/2 : asqrt(2) = asqrt(2) : r,

где r - радиус вписанной окружности.

Отсюда r = a/2*sqrt(2) = a/sqrt(2).

Так как радиус описанной окружности равен 64sqrt(2), то диагональ квадрата равна 264sqrt(2) = 128sqrt(2).

Тогда asqrt(2) = 128sqrt(2), откуда a = 128.

И, наконец, радиус вписанной окружности: r = 128/sqrt(2) = 64*sqrt(2).