Пусть $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника, а $c$ - гипотенуза.

Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то $m = \frac{c}{2} = 10$.

Также известно, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен равен разности полупериметра и гипотенузы, то есть $r = \frac{a + b - c}{2} = 4$.

Из формулы для площади $S$ прямоугольного треугольника $S = \frac{ab}{2} = r \cdot m = 4 \cdot 10 = 40$.

Так как $S = \frac{ab}{2}$, и $m = \frac{c}{2}$, то $ab = 40$ и $c = 20$.

Из тождества Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ получаем $a^2 + b^2 = 20^2 = 400\ (1)$.

Также из формулы для радиуса вписанной в треугольник окружности $r = \frac{a + b - c}{2}$ можно выразить $a + b = 2r + c = 8 + 20 = 28\ (2)$.

Из $(1)$ и $(2)$ можно составить систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 400 \ a + b = 28 \end{cases}$

Решив эту систему, найдем значения катетов:

$a = 12, b = 16$

Сумма катетов равна $a + b = 12 + 16 = 28$.

Ответ: сумма катетов равна 28.