Обозначим длину отрезка BD за а, а основание BC за b. Тогда основание AD равно 2b.

Площадь трапеции можно представить как сумму площадей треугольников ABC и CDA:

27 = (1/2)bh1 + (1/2)2bh2
27 = bh1 + bh22
27 = b(h1 + 2h2)
h1 + 2h2 = 27/b

Так как M и N делят отрезок BD на три равные части, длины отрезков BM и MD равны a/3 и 2a/3 соответственно.

Так как BC || BD, то треугольники MBC и NDC подобны треугольнику ABC. Таким образом, MC/BC = CN/CD = MN/BD = 1/3. Поэтому MC = b/3, CN = 2b/3, CD = 2b.

Теперь можем найти площадь треугольника MCN:

S_MCN = (1/2)b/32b/3sin(angle_C) = b^2/9sin(angle_C)

Подставим это в формулу площади трапеции:

27 = b(27/b)sin(angle_C)
sin(angle_C) = 1

Так как sin(angle_C) = 1, угол C = 90 градусов.

Таким образом, площадь треугольника MCN равна:

S_MCN = b^2/9*sin(90) = b^2/9

Теперь осталось найти b. Так как основание AD в два раза больше основания BC:

2b = 2* (b)
b = b

Подставляем b = 3 в площадь треугольника MCN:

S_MCN = 3^2/9 = 3

Итак, площадь треугольника MCN равна 3 квадратных сантиметра.