Итак, у нас есть равнобедренный треугольник, в котором одна из боковых сторон равна $\sqrt{65}$ см, а высота, проведенная к основанию, равна 4 см.

Пусть обозначим общую основу треугольника за $a$, тогда каждая из боковых сторон равна $\sqrt{65}$ см. Высота треугольника разделит его на два прямоугольных треугольника с катетами $4$ и $h$, где $h$ - это расстояние от вершины треугольника до основания. По теореме Пифагора получаем уравнение:

$(\frac{a}{2}{)}^2+h^2=65$

$(\frac{a}{2}{)}^2+4^2=65$

$\frac{a^2}{4}+16=65$

$\frac{a^2}{4}=49$

$a^2=196$

$a=\sqrt{196}=14$

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 14 см.