Длина диаметра окружности равна 52[tex]\pi[/tex]. Разделим её на два отрезка в соотношении 4:9:
Первый отрезок: 52[tex]\pi[/tex] (4/13) = 16[tex]\pi[/tex]
Второй отрезок: 52[tex]\pi[/tex] (9/13) = 36[tex]\pi[/tex]

Таким образом, длина первого отрезка равна 16[tex]\pi[/tex]. Этот отрезок является высотой равнобедренного треугольника, образованного диаметром и перпендикуляром. Поэтому, его длина равна длине перпендикуляра.

Ответ: длина перпендикуляра равна 16[tex]\pi[/tex].