Для начала найдем высоту трапеции, проходящую через один из углов основания. Так как диагонали трапеции перпендикулярны боковым сторонам, то у нас получается два прямоугольных треугольника с катетами 3 см и 4 см (половина оснований). По теореме Пифагора находим высоту:

$h = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны пирамиды, которая равна высоте трапеции. Из условия задачи, все боковые ребра наклонены под углом 60° к основанию, значит, получается правильная треугольная пирамида, в которой боковая сторона равна высоте. Поэтому длина боковой стороны равна 5 см.

Теперь можем найти площадь основания пирамиды:

$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot (6 + 8) \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$ кв. см.

И объем пирамиды:

$V{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot S{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 35 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 175 = 58.\overline{3}$ куб. см.

Ответ: Vпир = 58.\overline{3} куб. см.