Поскольку точка М - середина отрезка DE, то длина EM равна длине MF, то есть EM = MF.
Также, по условию, MK = 9 см.

Из прямоугольного треугольника DEM по теореме Пифагора получаем:
DE^2 = DM^2 + EM^2.

Так как EM = MF, то DM = DE / 2.

Определим длину DE:
DM^2 + EM^2 = MK^2,
(DE/2)^2 + EM^2 = 9^2,
(DE^2/4) + EM^2 = 81,
DE^2 + 4EM^2 = 324.

Подставим EM = DE/2 в полученное уравнение:
DE^2 + 4(DE^2/4) = 324,
DE^2 + DE^2 = 324,
2DE^2 = 324,
DE^2 = 162,
DE = √162 = 9√2 см.

Теперь найдем длину катета DF.
Из треугольника DEK (прямоугольного треугольника) по теореме Пифагора:
DK^2 = DE^2 + KE^2,
DK^2 = (9√2)^2 + 9^2,
DK^2 = 162 + 81,
DK = √243 = 3√27 = 3 * 3√3 = 9√3 см.

Таким образом, длина катета DF равна 9√3 см.