а) Чтобы окружность касалась прямой BC, ее радиус должен быть равен расстоянию от центра окружности до прямой BC. Прямая BC делит треугольник на два равнобедренных треугольника ACI и ICB, где I - точка касания окружности с BC. Так как угол ICB равен 30°, то угол ACI также равен 30°. Получается, что в треугольнике ACI угол ACB равен 60°, а значит треугольник ACI - равносторонний. Радиус окружности равен стороне треугольника ACI, которая равна 10/√3.

б) Чтобы окружность не имела общих точек с прямой BC, ее радиус должен быть меньше расстояния от центра окружности до BC. Для этого возьмем точку на AC (между A и I), проведем до нее перпендикуляр из центра окружности O и обозначим эту точку как D. Точки AC и BD являются высотами треугольника ACB. Прямоугольные треугольники AOD и ACD равны, поэтому OD = AD/2 = 10/(2√3) = 5/√3. Таким образом, радиус окружности должен быть меньше 5/√3.

в) Чтобы окружность имела две общие точки с BC, ее радиус должен быть больше расстояния от центра окружности до BC. Радиус окружности должен быть больше 5/√3.