Для доказательства того, что данные точки являются вершинами квадрата, нужно проверить, что стороны квадрата равны друг другу, а углы прямые.

Расстояния между точками можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

Для точек (4;1) и (0;4):
d1 = √((4 - 0)^2 + (1 - 4)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

Для точек (0;4) и (-3;0):
d2 = √((0 + 3)^2 + (4 - 0)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Для точек (-3;0) и (1;-3):
d3 = √((-3 - 1)^2 + (0 + 3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

Для точек (1;-3) и (4;1):
d4 = √((1 - 4)^2 + (-3 - 1)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Таким образом, все стороны квадрата равны 5, что означает, что данные точки образуют квадрат.

Теперь нужно убедиться, что углы между сторонами квадрата прямые. Для этого можно определить углы между сторонами, используя угловую теорему:
Угол между сторонами (4;1)-(0;4) и (0;4)-(-3;0) равен arctg(3/4) ≈ 36.87°
Угол между сторонами (0;4)-(-3;0) и (-3;0)-(1;-3) равен arctg(3/-4) ≈ -36.87°
Угол между сторонами (-3;0)-(1;-3) и (1;-3)-(4;1) равен arctg(-4/3) ≈ -53.13°
Угол между сторонами (1;-3)-(4;1) и (4;1)-(0;4) равен arctg(-3/4) ≈ -36.87°

Таким образом, все углы между сторонами квадрата прямые, что доказывает, что данные четыре точки образуют квадрат.