Для начала найдем объем тела вращения. Объем тела вращения можно найти по формуле:

V = π * ∫(f(x))^2 dx,

где f(x) - функция высоты трапеции. Т.к. наша трапеция прямоугольная, высота трапеции будет равна:

f(x) = 6,

а основание трапеции будет меняться от 7 см до 15 см. Таким образом, мы интегрируем от x = 7 до x = 15:

V = π ∫(6)^2 dx = π ∫ 36 dx = 36π * (15 - 7) = 288π см^3.

Теперь найдем площадь поверхности тела вращения. Ее можно найти по формуле:

S = 2π ∫f(x) √(1 + (f'(x))^2) dx,

где f'(x) - производная функции высоты трапеции. Т.к. у нас высота константа, производная равна 0, и формула упрощается до:

S = 2π ∫6 √(1 + 0) dx = 2π ∫6 dx = 12π (15 - 7) = 96π см^2.

Итак, объем тела вращения равен 288π см^3, а площадь поверхности тела вращения равна 96π см^2.