Для нахождения площади равностороннего треугольника можно воспользоваться формулой:

S = (a^2 * √3) / 4,

где S - площадь треугольника, a - длина стороны.

Подставив значения, получаем:

S = (12^2 √3) / 4 = (144 √3) / 4 = 36√3

Теперь найдем высоту равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника делит его на два равнобедренных треугольника со стороной a, основанием в виде a, а вершиной в центре треугольника. Таким образом, можно найти два треугольника:

1) Прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 и катетами x (половина стороны треугольника) и h (высота).

2) Разносторонний треугольник с основанием b (сторона треугольника) и катетом h.

Используем тождество Пифагора для прямоугольного треугольника:

x^2 + h^2 = 6^2,
x^2 + h^2 = 36,
h^2 = 36 - x^2.

Трапеция является подмножеством круга с радиусом 6 (половина стороны треугольника) и основанием 3 (половина стороны треугольника). Используем теорему Пифагора для трапеции:

a^2 = b^2 + c^2,
a^2 = x^2 + h^2,
12^2 = 3^2 + h^2,
144 = 9 + h^2,
h^2 = 135.

Таким образом, получаем, что высота равностороннего треугольника равна √135.