Чтобы проверить, является ли четырехугольник ABCD квадратом, необходимо удостовериться, что все его стороны равны между собой и все углы равны 90 градусов.

Для начала найдем длины сторон четырехугольника ABCD:

AB = √[(1 - 2)^2 + (-5 - 1)^2 + (0 + 8)^2] = √[1 + 36 + 64] = √101
BC = √[(8 - 1)^2 + (1 + 5)^2 + (-4 - 0)^2] = √[49 + 36 + 16] = √101
CD = √[(9 - 8)^2 + (7 - 1)^2 + (-12 + 4)^2] = √[1 + 36 + 64] = √101
DA = √[(9 - 2)^2 + (7 - 1)^2 + (-12 + 8)^2] = √[49 + 36 + 16] = √101

Теперь найдем векторы, образованные сторонами четырехугольника ABCD:

AB = B - A = (1 - 2) i + (-5 - 1) j + (0 + 8) k = -i - 6j + 8k = <-1, -6, 8>
BC = C - B = (8 - 1) i + (1 + 5) j + (-4 - 0) k = 7i + 6j - 4k = <7, 6, -4>
CD = D - C = (9 - 8) i + (7 - 1) j + (-12 + 4) k = i + 6j - 16k = <1, 6, -16>
DA = A - D = (2 - 9) i + (1 - 7) j + (-8 + 12) k = -7i - 6j + 4k = <-7, -6, 4>

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и BC:

AB · BC = (-1)(7) + (-6)(6) + (8)(-4) = -7 - 36 - 32 = -75
AB · DA = (-1)(-7) + (-6)(-6) + (8)(4) = 7 + 36 + 32 = 75

Таким образом, скалярное произведение AB · BC не равно 0, значит, углы четырехугольника ABCD не равны 90 градусам, а значит, он не является квадратом.