В треугольнике АОА1 по теореме синусов имеем:
AO/sin<AA1О = A1O/sin<АОА1
Так как угол АА1О равен углу АОА1, то sin<AA1О = sin<АОА1, и
AO/sin<AA1О = A1O/sin<АОА1
AO/A1O = sin<AA1О/sin<АОА1
AO/A1O = АС/ВС

А теперь рассмотрим треугольник АВО:
AO/sin<АВО = АВ/sin<АОВ
AO/sin<АВО = AО/OC
AO/AО = АВ/OC

Перемножим два полученных равенства:
(AO/A1O) (AO/AО) = (АС/BC) (AB/OC)
AO^2 / (A1O AО) = (АС AB) / (BC OC)
AO^2 / (A1O AО) = AB + AC / BC
AO^2 = AО A1O (AB + AC) / BC
Теперь поделим обе части на AO:
AO = A1O * (AB + AC) / BC
AO / A1O = (AB + AC) / BC

Таким образом, мы доказали, что AO / A1O = (AB + AC) / BC.