1) Пусть катет треугольника равен x, тогда по теореме Пифагора получаем:
x^2 + x^2 = c^2, где с - гипотенуза.
Учитывая, что высота равна 10 см, имеем:
10^2 + x^2 = c^2
100 + x^2 = c^2
Также, используя свойства равнобедренного треугольника, можем заметить, что x, c и 10 образуют пропорцию.
Следовательно, c = 10√2.

2) Пусть катет треугольника равен x, тогда высота будет равна х/2. Используем теорему Пифагора:
(x/2)^2 + x^2 = c^2
x^2/4 + x^2 = c^2
5x^2/4 = c^2
c = x√5/2
Также, учитывая, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, легко находим значение углов.

3) По теореме Пифагора имеем:
AB^2 + BC^2 = AC^2
8^2 + 4^2 = AC^2
64 + 16 = AC^2
80 = AC^2
AC = √80 = 4√5
Теперь рассмотрим треугольник BCD, используя теорему Пифагора:
BC^2 + CD^2 = BD^2
4^2 + CD^2 = BD^2
16 + CD^2 = BD^2
CD^2 = BD^2 - 16
Так как треугольник BCD прямоугольный, то BD^2 = BC^2 + CD^2, следовательно:
BD^2 = 20 + CD^2
BD^2 = 20 + (BD-4)^2
BD^2 = 20 + BD^2 - 8BD + 16
Сократим BD^2 со всех частей уравнения и решим оставшуюся часть:
0 = 36 - 8BD
8BD = 36
BD = 36/8 = 4.5 см

BD = 4.5 см.