Для решения данной задачи нам понадобится знание основных свойств прямоугольных треугольников, окружностей и тригонометрических функций.

Поскольку один угол треугольника равен 30 градусов, то другой угол равен 60 градусов (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов). Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник с углами 30, 60 и 90 градусов.

Так как окружность вписана в треугольник, то радиус окружности является высотой треугольника, опущенной из прямого угла к его гипотенузе. Таким образом, радиус окружности равен 9 см.

Теперь мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций для нахождения гипотенузы и катетов треугольника.

Гипотенузу треугольника (со сторонами a, b и гипотенузой c) можно выразить как c = 2 r, где r - радиус окружности, вписанной в треугольник. Таким образом, гипотенуза треугольника равна 2 9 = 18 см.

Теперь найдем меньший катет треугольника. Для этого воспользуемся свойствами тригонометрических функций для угла в 30 градусов. Так как тангенс угла 30 градусов равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то меньший катет равен r tg(30°), где r - радиус окружности. Подставляя значения, получаем: 9 tg(30°) ≈ 9 * 0.577 ≈ 5.19 см.

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 18 см, а меньший катет равен примерно 5.19 см.