Пусть основания трапеции равны a и b.

Так как отрезок, соединяющий середины оснований, делит диагонали на две равные части, то он равен половине суммы диагоналей. Поэтому отрезок, соединяющий середины оснований, равен (4 + 7) / 2 = 5.

Таким образом, мы получаем уравнения:
(a + b) / 2 = 5,
a^2 + b^2 = 4^2,
(a + b)^2 = 7^2.

Из первого уравнения получаем, что a + b = 10.
Возводим это уравнение в квадрат:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 100,
Из второго уравнения (a^2 + b^2 = 16) находим, что 2ab = 84, а значит ab = 42.

Теперь мы можем найти a и b, решая систему уравнений:
a + b = 10,
ab = 42.

Решив данную систему уравнений, мы найдем a = 6 и b = 4.

Сумма длин оснований трапеции равна a + b = 6 + 4 = 10.

Итак, сумма длин оснований трапеции равна 10.