Доказательство:

Проведем радиусы окружности из центра C к точкам касания с сторонами треугольника. Обозначим точки касания как A', B', C'.

Так как радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, то у нас имеются два прямоугольных треугольника: треугольник ABA' и треугольник CBC'.

В треугольнике ABA' рассмотрим угол BAA'.
Угол BAA' смежный с углом C, так как вершина угла находится на окружности

Так как в прямоугольном треугольнике ABC угол А прямой, то сумма углов вокруг точки А равна 180 градусов.

Поэтому угол BAA' равен углу C.

Угол в прямоугольном треугольнике равен 90 градусов, значит угол A' равен 180 - 90 - C = 90 - C.

Так как угол BAA' = угол C и угол A'B'C' = 90 - C, то треугольник ABA' и треугольник CBC' подобны.

Из свойств подобных треугольников следует, что угол A'BC = угол BAC и угол C'AB = угол ACB.

Но угол BAC = угол ACB, так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то угол A'BC = угол BAC = угол ACB = угол C'AB.

Таким образом, мы доказали, что AB является касательной к окружности, проведенной вокруг треугольника ABC.