Пусть боковая сторона трапеции равна а, меньшая диагональ равна b.

Так как острый угол трапеции равен 45 градусов, то треугольник, образованный боковой стороной, меньшей диагональю и большей диагональю, является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Соответственно, мы можем записать:

( \cos 45^\circ = \frac{b}{a} )

Известно, что ( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ). Подставляем в уравнение:

( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{a} )

( b = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a )

Для расчета площади трапеции используем формулу:

( S = \frac{a + b}{2} \cdot h ), где h - высота трапеции.

Так как меньшая диагональ равна b, а боковая сторона равна а, то:

( h = a - b = a - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot a )

Подставляем все значения в формулу для площади:

( S = \frac{a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot a )

После преобразований получаем:

( S = \frac{3 + \sqrt{2}}{4} \cdot a^2 )

Так как большее основание трапеции равно 8 см, то a = 8 см.

Подставляем значение a:

( S = \frac{3 + \sqrt{2}}{4} \cdot 8^2 )

( S = \frac{3 + \sqrt{2}}{4} \cdot 64 )

( S = \frac{3 + \sqrt{2}}{4} \cdot 64 = 48 + 32\sqrt{2} )

Ответ: площадь трапеции равна 48 + 32√2 квадратных см.