Для начала обозначим вершины четырехугольника как A, B, C, D, а середины сторон как M, N, P, Q. По условию, диагонали четырехугольника перпендикулярны, что означает, что они пересекаются под прямым углом в точке O.

Теперь докажем, что четырехугольник MNPQ является прямоугольником. Рассмотрим треугольники AOM и CON. Они равны по двум сторонам (AO=OC, AM=MC), поэтому они равны по третьей стороне и по углу напротив этой стороны (углы OAM и OCN равны, так как диагонали перпендикулярны). Таким образом, треугольники AOM и CON равны.

Из равенства треугольников следует, что AO = CO и OM = CN. Таким образом, MP = 2OM и NQ = 2CN. Значит, MP = NQ.

Аналогично доказывается, что MN = PQ. Итак, все стороны четырехугольника MNPQ равны, то есть MNPQ является прямоугольником.

Таким образом, если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон действительно являются вершинами прямоугольника.