Обозначим длину диагонали ромба BD за d, а сторону ромба за a. Так как угол AMB = 90 градусов (поскольку BM - высота, то треугольник AMB - прямоугольный), то треугольник AMB - прямоугольный. Тогда, по теореме о тригонометрических функциях в прямоугольном треугольнике, получаем:

tg(30) = BM / AM
tg(30) = BM / 4
√3 / 3 = BM / 4
BM = 4 * √3 / 3
BM = 4√3 / 3

Также, так как треугольник ABM равнобедренный, то AM = BM. Таким образом, AM = 4√3 / 3.

Длину диагонали BD ромба можно найти с помощью теоремы Пифагора:

BD^2 = 2a^2
BD = √(2a^2)

Теперь приведем выражение для a через BM. Воспользуемся тем, что BM является катетом прямоугольного треугольника BMD:

BM^2 + MD^2 = BD^2
(4√3 / 3)^2 + (a / 2)^2 = 2a^2
16 * 3 / 3^2 + a^2 / 4 = 2a^2
a^2 / 12 + a^2 / 4 = 2a^2
a^2 / 3 = 1
a = √3

Теперь можем найти длину диагонали BD:

BD = √(2 * √3^2)
BD = √6

Итак, длина диагонали BD ромба ABCD равна √6 см.