Уравнение прямой AB:
Уравнение прямой проходящей через точки A(1;-6) и B(5;3) можно найти, используя метод нахождения уравнения прямой по двум точкам:

Найдем угловой коэффициент прямой k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - (-6)) / (5 - 1) = 9 / 4.

Теперь используем формулу y - y1 = k(x - x1), где (x1, y1) - координаты одной из точек:
y + 6 = (9/4)(x - 1)
4y + 24 = 9x - 9
4y = 9x - 33
Уравнение прямой AB: 9x - 4y = 33

Уравнение прямой AE:
Медиана AE проходит через вершину A и середину стороны BC. Найдем середину стороны BC:
x = (5 + 13) / 2 = 9
y = (3 - 3) / 2 = 0
Таким образом, середина BC имеет координаты (9;0).
Угловой коэффициент медианы равен угловому коэффициенту стороны AC:
k = (-6 - (-3)) / (1 - 13) = -3 / (-12) = 1/4
Уравнение прямой AE:
y + 6 = (1/4)(x - 1)
4y + 24 = x - 1
4y = x - 25
Уравнение прямой AE: x - 4y = 25

Уравнение прямой CD:
Уравнение прямой, проходящей через точку C(13;-3) и перпендикулярной AC (высота) можно найти, используя свойство перпендикулярных прямых, где угловой коэффициент одной прямой k1 равен отрицательному обратному угловому кэффициенту другой прямой k2.
Угловой коэффициент AC: k = (-6 - (-3)) / (1 - 13) = -3 / (-12) = 1/4
Угловой коэффициент CD: k1 = -1 / k = -1 / (1/4) = -4
Теперь используем формулу y - y1 = k(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки C(13;-3):
y + 3 = -4(x - 13)
y + 3 = -4x + 52
4x + y - 49 = 0
Уравнение прямой CD: 4x + y - 49 = 0

Длина CD:
Для нахождения длины CD можно воспользоваться формулой расстояния между точкой и прямой:
d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)
Где уравнение прямой задано в виде Ax + By + C = 0, а точка D(9;0) принадлежит прямой CD.
Подставляя значения, получаем:
d = |49 + 10 - 49| / √(4^2 + 1^2) = |36 - 49| / √17 = 13 / √17

Длина AE:
Для нахождения длины AE можно воспользоваться формулой для нахождения расстояния между двумя точками:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
где (x1, y1) - координаты точки A(1;-6), а (x2, y2) - координаты точки E(9;0):
d = √((9 - 1)^2 + (0 - (-6))^2) = √(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10

Точка пересечения AE и CD:
Для нахождения точки пересечения AE и CD решим систему уравнений AE и CD:
x - 4y = 25
4x + y - 49 = 0
Методом подстановки, найдем значения x и y:
Из уравнения AE: y = (x - 25) / 4
Подставляем в уравнение прямой CD:
4x + (x - 25) / 4 - 49 = 0
16x + x - 25 - 196 = 0
17x = 221
x = 221 / 17
Теперь найдем y:
y = (221 / 17 - 25) / 4
y = (221 - 425) / 68
y = -204 / 68
y = -3
Таким образом, точка пересечения AE и CD имеет координаты (221 / 17; -3).