Обозначим объем конуса как V, его высоту как h, радиус основания как R, и радиус вписанного шара как r.

Так как объем шара равен 6/13 объема конуса, то
4/3 * πr^3 = (6/13)V

Также из подобия треугольников можно выразить r через R и h:
r/R = (h - r) / h

Подставим это в формулу для объема шара:
4/3 * πR^3(h - R) = (6/13)V

Из формулы для объема конуса V мы можем выразить h через V:
V = 1/3 πR^2 h
h = 3V / (πR^2)

Подставим это в уравнение:
4/3 πR^3(3V / (πR^2) - R) = (6/13)V
4R(3V / R - 27R) = 6V
12V/R - 108R = 6V
12V/R = 6V + 108R
12V = 6V R + 108R^2
2 = R + 18R^2/V

Из этого уравнения видно, что R не может быть равно 0, поэтому:
18R^2 = V - 2R
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(18R^2)^2 = (V - 2R)^2
324R^4 = V^2 - 4RV + 4R^2
324R^4 = V(V - 4R) + 4R^2
324R^4 = V^2 - 4V + 4R^2
324R^4 = (V - 2R)^2

Таким образом, если R ≠ 0, h ≠ 0, то угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен 90°.