а) Пусть основание четырёхугольной пирамиды ABCD, а средняя линия грани ABEF. Плоскость, проходящая через сторону основания AB и среднюю линию грани ABEF, пересекает рёбра пирамиды в точках M, N, P и Q.

Так как все рёбра пирамиды равны 1, то AM = BM = 1/2, AN = BN = 1/2, AQ = BQ = 1. Также BM = CN = 1/2, BQ = CP = 1.

Из равенства треугольников AMQ и BNP получаем, что угол AQM равен углу BPN. Аналогично, угол BQN = углу BPM.

Таким образом, сечением пирамиды плоскостью вида MQNP является равнобедренная трапеция.

б) Найдём косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Пусть угол между этими плоскостями равен α.

Поскольку сечение пирамиды параллельно одной из боковых граней, считаем, что угол между сечением и плоскостью основания равен 90 градусов.

Тогда косинус угла α между этими плоскостями равен синусу угла, образованного сечением и плоскостью смежной боковой грани пирамиды.

Так как треугольник AQM равнобедренный (AM = AQ = 1, угол рёбра пирамиды равен 90 градусов), то sin(α) = MQ/AQ = 1/sqrt(2). Далее, cos(α) = sqrt(1 - sin^2(α)) = sqrt(1 - 1/2) = sqrt(1/2).

Итак, косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания равен sqrt(1/2) или 1/sqrt(2).