В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и с центром вневписанной окружности. Таким образом, точка пересечения медиан треугольника является центром окружности.

Так как в равностороннем треугольнике медианы являются одновременно и биссектрисами, и высотами, то треугольник является равносторонним и, следовательно, все его стороны равны.

Пусть сторона треугольника равна а, тогда радиус описанной окружности равен ( R = \frac{a}{\sqrt{3}} ), и радиус вписанной окружности равен ( r = \frac{a}{2} \sqrt{3} ).

Мы знаем, что отношение радиусов вписанной и описанной окружностей дано как ( r = \frac{R}{2} ), что приводит к уравнению:

[ \frac{a}{2} \sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

[ a = 6 ]

Следовательно, длина стороны равностороннего треугольника равна 6 см. Затем мы можем найти длину отрезка АО, который является радиусом вписанной окружности, относительно центра треугольника:

[ AO = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{см} ]

Длина отрезка АО равна 3 см.