Точки P,Q,W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW=12. а) Докажите, что треугольник PQW -- прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD
Точки P,Q,W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW=12. а) Докажите, что треугольник PQW -- прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
а) Для доказательства того, что треугольник PQW прямоугольный, обратим внимание на то, что углы при вершинах P и W лежат на окружности. Так как радиус этой окружности равен 10, то углы POQ и WOQ вписанные, а значит, угол POQ = 2 угол PWQ, то есть, угол POQ = 2 90 = 180. Значит, треугольник PQW прямоугольный.
б) Так как P,Q,W являются точками деления сторон ABCD, то AP:PB = 1:4, CQ:QB = 1:4, CW:WD = 1:4. Так как PQ = 16, то AP = 4, PB = 16 - 4 = 12. Аналогично, QW = 12, и CW = 3, WD = 12 - 3 = 9.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Для нахождения его площади воспользуемся формулой для площади треугольника через стороны и полупериметр:
S_ABC = √(p (p - AB) (p - BC) * (p - AC)),
где p = (AB + BC + AC) / 2.
p = (16 + 12 + 20) / 2 = 24, S_ABC = √(24 8 12 4) = √(8 144 4) = √(8 576) = √4608 = 16√72 = 48√2.
Ответ: S_ABC = 48√2.