Пусть центры вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ симметричны относительно стороны $BC$. Пусть $O$ - центр описанной окружности, а $I$ - центр вписанной окружности.

Так как $OI$ параллельно $BC$, то угол $BAC = \angle AIO$. Угол $AIO$ - угловая точка треугольника $ABC$, поэтому $\angle AIO = 90° + \frac{1}{2} \angle A$.

Отсюда, углы треугольника $ABC$ равны $$\angle A = 2 \left( \angle BAC - 90° \right) = 2 \angle AIO - 180° = \angle AIB - 180° = \angle BIC + \angle \angle BAC - 180° = \frac{1}{2} \angle C + \angle BAC - 180°.$$