Пусть сторона квадрата KRMT равна а.

Так как АК - высота треугольника АКМ, то AK = 3, следовательно, KM = 3 + a.
Так как АР - высота треугольника ART, то AR = 7, следовательно, RT = 7 + a.

Так как треугольник АКМ - прямоугольный, то по теореме Пифагора:

AM^2 = AK^2 + KM^2
AM^2 = 3^2 + (3 + a)^2
AM^2 = 9 + 9 + 6a + a^2
AM^2 = a^2 + 6a + 18

Так как треугольник АRT - прямоугольный, то по теореме Пифагора:

AT^2 = AR^2 + RT^2
AT^2 = 7^2 + (7 + a)^2
AT^2 = 49 + 49 + 14a + a^2
AT^2 = a^2 + 14a + 98

Так как AM = AT, то:

a^2 + 6a + 18 = a^2 + 14a + 98
6a + 18 = 14a + 98
8a = 80
a = 10

Таким образом, сторона квадрата KRMT равна 10.

Диагональ квадрата равна √(2a^2) = √200 = 10√2.

Произведение длин диагоналей квадрата равно (10√2)^2 = 200.

Ответ: 200.