Для решения этой задачи выразим высоту трапеции через стороны прямоугольных треугольников, образованных диагональю BD.

Пусть BD делит основание AD пополам на две отрезка, каждый длиной 4 см. Так как треугольники равнобедренные, то отрезок BD также делит сторону BC пополам.

Пусть высота треугольника ABD равна h см. Тогда, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABD, получим:

AB^2 = AD^2 - h^2
AB^2 = 8^2 - h^2
AB = √(64 - h^2)

Так как треугольник ABD равнобедренный, то отношение стороны AD к стороне AB равно отношению стороны AB к стороне BD, то есть:

AD / AB = AB / BD
8 / √(64 - h^2) = √(64 - h^2) / 4
8(√(64 - h^2)) = 4(√(64 - h^2))^2
8(√(64 - h^2)) = 4(64 - h^2)
8√(64 - h^2) = 256 - 4h^2
64 - h^2 = 32 - 0.5h^2

Решая это уравнение, найдем h = 4√2 см.

Таким образом, высота трапеции равна 4√2 см.