Обозначим центры окружностей как O1 и O2, а точки касания с общей внешней касательной как A и B. Также обозначим точку, в которой отрезок AB пересекает прямую, содержащую отрезок O1O2, как М.

Так как расстояние между центрами окружностей равно 10 см, то треугольник O1MO2 является равнобедренным. Также, по свойству касательных, угол O1AM равен углу O1BM и угол O2AM равен углу O2BM.

Поскольку радиусы окружностей равны 7 и 13, соответственно, то углы O1AM и O2BM можно выразить как arcsin(7/10) и arcsin(13/10).

Теперь находим длину отрезка AM:

AM = sin(O1AM) 7 = sin(arcsin(7/10)) 7 = 7/5

Аналогично для отрезка BM:

BM = sin(O1BM) 7 = sin(arcsin(13/10)) 13 = 13/5

Таким образом, длина отрезка AB равна 7/5 + 13/5 = 20/5 = 4 см.