Обозначим основание правильной треугольной пирамиды как треугольник ABC, высоту как h, боковое ребро как a и угол 2ф.

Так как пирамида правильная, то боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами a, a, h и углом 2ф между ними.

Поделим боковую грань на два равнобедренных треугольника со сторонами a, a/2, h и углом ф между ними.

Теперь можем найти площадь каждого из треугольников:
S1 = (1/2) a (a / 2) sin(ф)
S2 = (1/2) a (a / 2) sin(ф)

Таким образом, площадь одного равнобедренного треугольника равна S = S1 + S2 = a^2 * sin(ф) / 4

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, нужно умножить площадь основания треугольника на его высоту и разделить на 3:
V = (1/3) S h = (1/3) a^2 sin(ф) / 4 * h.

Таким образом, объем пирамиды равен V = a^2 h sin(ф) / 12.