Поскольку медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит их в отношении 2:1 относительно вершины, то AM=2BM. Так как окружность, построенная на отрезке BM как на диаметре, проходит через вершину C, то угол MCB=90 градусов. Следовательно, треугольник MCB прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину BC:

BC^2 = BM^2 + CM^2
BC^2 = (AM/2)^2 + 4^2
BC^2 = (BC/2)^2 + 16
BC^2 = BC^2/4 + 16
3BC^2/4 = 16
BC^2 = 64/3
BC = 8/√3

Теперь мы можем найти длину AH, используя тот факт, что медиана BC и высота AH делятся в отношении 2:1:

AH = 2/3 √(4^2 - (8/√3)^2)
AH = 2/3 √(16 - 64/3)
AH = 2/3 √(48/3 - 64/3)
AH = 2/3 √(16/3)
AH = 8/√3

Теперь рассмотрим треугольник CDE. Поскольку окружность, построенная на отрезке BM как на диаметре, касается прямой DE, то угол CBD равен углу ADE, и оба эти угла равны углу ABC. Таким образом, угол ABC равен углу CBD.

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу:

S = 1/2 BC AH
S = 1/2 (8/√3) (8/√3)
S = 32/3

Итак, высота треугольника AH равна 8/√3, угол CBD равен углу ABC и равен обратному тангенсу (8/√3)/4, а площадь треугольника ABC равна 32/3.