Пусть у нас есть два коллинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, т.е. они параллельны друг другу и лежат на одной прямой.

Тогда существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Теперь рассмотрим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в некотором базисе. Пусть координаты вектора $\vec{a}$ будут $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$, а координаты вектора $\vec{b}$ - $b_1, b_2, b_3, ..., b_n$.

Так как вектора коллинеарны, их координаты пропорциональны, т.е. $b_1 = k \cdot a_1$, $b_2 = k \cdot a_2$, $b_3 = k \cdot a_3$, ..., $b_n = k \cdot a_n$.

Таким образом, координаты одного вектора пропорциональны координатам другого.

Теперь формулируем и докажем обратное утверждение:

Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти вектора коллинеарны.

Пусть у нас есть два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ и $b_1, b_2, b_3, ..., b_n$ соответственно, такие, что $b_1 = k \cdot a_1$, $b_2 = k \cdot a_2$, $b_3 = k \cdot a_3$, ..., $b_n = k \cdot a_n$ для некоторого числа $k$.

Таким образом, вектор $\vec{b}$ является равным вектору $\vec{a}$ умноженному на число $k$. Поскольку умножение вектора на число не меняет его направления, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Таким образом, координаты одного вектора пропорциональны координатам другого тогда и только тогда, когда эти вектора коллинеарны.