Для начала найдем высоту призмы.

Из уравнения косинуса в треугольнике со сторонами 10, 10 и 12:
12^2 = 10^2 + 10^2 - 21010cosA
144 = 100 + 100 - 200cosA
44 = -200*cosA
cosA = -44/200
cosA = -0.22
A = arccos(-0.22)
A ≈ 102.2°

Так как диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60°, то угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 90 - 60 = 30°.

Теперь найдем высоту призмы:
h = 12 sin(30°)
h = 12 0.5
h = 6

Объем призмы равен:
V = S * h,
где S - площадь основания.

Площадь треугольника равна:
S = 1/2 a b sinC
S = 1/2 10 12 sin(102.2°) ≈ 57

Таким образом, объем призмы равен:
V = 57 * 6
V = 342

Ответ: объем призмы равен 342.