Для начала найдем площадь четырехугольника ABCD. По условию, площади треугольников BOC, COD и AOD равны 5см², 10см² и 15см² соответственно. Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников BOC, COD и AOD:

Площадь четырёхугольника ABCD = 5см² + 10см² + 15см² = 30см²

Так как AO является медианой треугольника BCD, то площадь треугольника BCD равна удвоенной площади треугольника AOD:
Площадь треугольника BCD = 2 * 15см² = 30см²

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна площади треугольника BCD. Значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом и его площадь равна произведению диагоналей, деленному на 2:

Площадь четырехугольника ABCD = (BOCDsin(BOCD)) / 2

Так как BO и CD представляют собой диагонали параллелограмма ABCD, а угол BOCD равен углу BAO, то мы можем записать:

30см² = (BO CD sin(BAO)) / 2

Зная, что AB = 6 см и AO = 5 см, применим закон косинусов в треугольнике ABO:

cos(BAO) = (AB² + AO²- BO²) / (2 AB AO)
cos(BAO) = (6² + 5² - BO²) / (2 6 5)
cos(BAO) = (36 + 25 - BO²) / 60
cos(BAO) = (61 - BO²) / 60

Также, по свойствам параллелограмма, диагонали друг другу делят пополам:
BO = CD / 2

Подставим BO = CD / 2 в формулу для площади:

30см² = (CD² / 2 sin(BAO)) / 2
60 = (CD² / 4 sin(BAO))

Теперь подставим полученные уравнения для cos(BAO) и sin(BAO) в предыдущее уравнение:

60 = (CD² / 4 ((1 - cos²(BAO))⁰.⁵))
240 = CD² (1 - cos²(BAO))⁰.⁵

Подставим все известные значения:

240 = CD² (1 - (61 - BO²) / 60)⁰.⁵
240 = CD² (1 - (61 - (CD² / 4)) / 60)⁰.⁵
240 = CD² (1 - (2440 - CD²) / 240)⁰.⁵
240 = CD² (1 - 2400 / 240)⁰.⁵
240 = CD² (1 - 10)⁰.⁵
240 = CD² (-9)⁰.⁵
240 = CD² * i (где i = √(-1))

Получается некорректное уравнение. Мы можем ошибиться при подборе угла или при вычислениях. Попробуйте перепроверить ответ.