Для доказательства данного утверждения обратимся к утверждению о том, что точка пересечения биссектрис смежных углов равноудалена от сторон угла.

Пусть у нас есть два смежных угла c вершиной O. Проведем для каждого угла биссектрису – отрезок, который делит угол на две равные части.

Проведем биссектрисы углов с вершиной O. Пусть они пересекаются в точке P. Так как P лежит на биссектрисах смежных углов, то P равноудалена от сторон каждого из углов. Это означает, что треугольники OAP и OBР равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда следует, что треугольники OAP и OBР равны, а значит, углы между биссектрисами перпендикулярны.