Площадь боковой поверхности призмы равна P = a l, где a - длина стороны основания, l - длина боковой грани. Так как у нас правильная треугольная призма, то каждая боковая грань является равносторонним треугольником, а значит ее площадь можно найти по формуле S = (a l) / 2.

Исходя из условия задачи, площадь боковой поверхности равна 72 корня из 3. Таким образом, у нас сразу найдена площадь боковой грани: S = 72√3.

Так как у нас треугольная призма и диагональ боковой грани образует угол в 30 градусов с основанием, то с помощью тригонометрических функций можно определить длины сторон и высоту треугольника. Площадь равностороннего треугольника можно выразить через длину стороны a: S = (a^2 * √3) / 4.

Для определения объема призмы необходимо знать высоту призмы. Она равна h = a √2. Таким образом, объем V призмы равен V = (S основания h) / 3, где S основания равно S = a^2 * √3.

Подставляем значения:

V = ((a^2 √3) / 4) (a √2) / 3
V = (a^3 √6) / 12

Итак, объем призмы равен (a^3 * √6) / 12.