Обозначим больший катет как $a$, меньший катет как $b$, а гипотенузу как $c$. Тогда у нас имеется следующие данные:

$a = c - 10$,
$a = \sqrt{b^2 + 64}$.

Так как в прямоугольном треугольнике катет и проекция на гипотенузу образуют прямоугольный треугольник, то мы имеем еще одно соотношение:

$c^2 = a^2 + b^2$.

Подставим первое уравнение второе и получим:

$c^2 = (c - 10)^2 + (c^2 - 100)$.

Раскрыв скобки, получим:

$c^2 = c^2 - 20c + 100 + c^2 - 100$,
$20c = 200$,
$c = 10$.

Итак, гипотенуза равна 10 см. Теперь подставим это значение в уравнение $a = c - 10$ и получим $a = 0$.

То есть, меньший катет равен 0 см. Так как это нереальное значение, пересмотрим наше решение.

Имеется маленький катет $b$, больший катет $a = c - 10$, гипотенуза $c$.

Имеется треугольник, в котором величина проекции маленького катета на гипотенузу равна 8 см. Тогда:

$a = c - 10$,
$a^2 = b^2 + 64$,
$b^2 = (c - 10)^2 - 64$.

Подставим в уравнение $a^2 = b^2 + 64$ значение $a = c - 10$ и $b^2 = (c - 10)^2 - 64$:

$(c - 10)^2 = (c - 10)^2 - 64 + 64$,
$c = 10$.

Теперь подставим это значение в уравнение $b^2 = (c - 10)^2 - 64$:

$b^2 = (10 - 10)^2 - 64$,
$b^2 = -64$.

Мы видим, что такое уравнение не имеет физического смысла, поэтому наше оба уравнения не совместимы. Предложенные данные приводят к противоречию.