Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, зная его стороны, можно воспользоваться формулой:

[R = \dfrac{abc}{4S},]

где (a), (b), (c) - стороны треугольника, а (S) - его площадь. Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона:

[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},]

где (p = \dfrac{a+b+c}{2}) - полупериметр треугольника.

Теперь подставим известные значения сторон треугольника 5, 6, 7:

[p = \dfrac{5+6+7}{2} = 9.]

[S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{943*2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}.]

Теперь найдем радиус окружности:

[R = \dfrac{567}{4*6\sqrt{6}} = \dfrac{210}{24\sqrt{6}} = \dfrac{35}{4\sqrt{6}} = \dfrac{35\sqrt{6}}{24}.]

Итак, радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5, 6, 7, равен (\dfrac{35\sqrt{6}}{24}).