Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и что углы при вершинах прямые.

Проверим, что противоположные стороны параллельны. Вычислим коэффициенты наклона противоположных сторон AB и CD.

Коэффициент наклона прямой AB:
k_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (3 - 1) / (4 - 0) = 2 / 4 = 0.5

Коэффициент наклона прямой CD:
k_CD = (y_D - y_C) / (x_D - x_C) = (-1 - 1) / (1 - 5) = -2 / (-4) = 0.5

Таким образом, коэффициент наклона противоположных сторон AB и CD равны, следовательно, эти стороны параллельны.

Проверим, что противоположные стороны AB и CD равны по длине.

Длина стороны AB:
AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²) = √((4 - 0)² + (3 - 1)²) = √(16 + 4) = √20

Длина стороны CD:
CD = √((x_D - x_C)² + (y_D - y_C)²) = √((1 - 5)² + (-1 - 1)²) = √((-4)² + (-2)²) = √20

Таким образом, противоположные стороны AB и CD параллельны и равны по длине.

Проверим, что углы при вершинах прямые, то есть, что векторы AB и BC перпендикулярны.

Вектор AB:
AB = (4 - 0)i + (3 - 1)j = 4i + 2j

Вектор BC:
BC = (5 - 4)i + (1 - 3)j = i - 2j

Скалярное произведение векторов AB и BC:
AB BC = 4 1 + 2 * (-2) = 4 - 4 = 0

Так как скалярное произведение равно 0, то векторы AB и BC перпендикулярны, значит угол между сторонами прямой.

Итак, мы показали, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.