Из условий задачи имеем:
MO = OP (1)
NO = OK (2)

Так как ОК=ON, то треугольник ОKN равнобедренный.
Отсюда получаем, что ∠ONK = ∠OKN (3)
А из условия равенства NO и OK и равенства MO и OP следует, что треугольники MNO и OPK равны по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно,
∠MNO = ∠OPK (4)
∠OMN = ∠POK (5)

Из (2), (3) и (4) следует, что треугольники MN0 и POK равны по двум углам и стороне между ними.
Так же получаем, что ∠PNO = ∠PKO (6)

Из (5) и (6) следует, что MN || PK
Аналогично, можно доказать, что NP || MK.