Окружность, вписанная в четырехугольник, касается его сторон в четырех точках деления стороны на равные части, поэтому ее диаметр равен стороне четырехугольника. Так как сторона четырехугольника равна 2 корень из 2, то диаметр вписанной окружности равен 2 корень из 2.

Окружность, описанная вокруг четырехугольника, проходит через вершины четырехугольника, поэтому диаметр описанной окружности равен диагонали четырехугольника. Диагональ четырехугольника с высотой составляет прямоугольный треугольник с катетами, равными стороне четырехугольника, то есть 2 корень из 2. По теореме Пифагора, длина диагонали равна 2.

Отношение длин окружностей равно отношению их радиусов, то есть (2 корень из 2) / 2 = корень из 2 / 2.

Итак, отношение длин окружностей равно корень из 2 / 2.