Дано: угол вершины равнобедренного треугольника равен 120 градусов, основание 18 см.

а) Для начала найдем длину боковой стороны треугольника. Так как у нас равнобедренный треугольник, то углы при основании равны между собой, а значит, у нас имеется равносторонний треугольник. Из свойств равностороннего треугольника следует, что все стороны равны между собой. Следовательно, длина боковой стороны равна 18 см.

б) Высоту, проведенную к основанию, найдем с помощью тригонометрических функций. Так как угол вершины равен 120 градусам, то угол между стороной и высотой равен 60 градусам (половина от 120). Тогда высота будет равна половине основания умноженной на тангенс угла между основанием и высотой:
h = 0.5 18 tan(60) ≈ 15.59 см.

в) Чтобы найти высоту, проведенную к боковой стороне, возьмем половину боковой стороны и разделим на tg(60) (тангенс угла вершины):
h1 = 9 / tg(60) ≈ 5.2 см.

г) Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: S = 0.5 a h, где a - основание, а h - высота, проведенная к основанию. Подставив значения, получим:
S = 0.5 18 15.59 ≈ 139.65 кв. см.

Ответ:
а) Длина боковой стороны равна 18 см.
б) Высота, проведенная к основанию, равна примерно 15.59 см.
в) Высота, проведенная к боковой стороне, равна примерно 5.2 см.
г) Площадь треугольника равна примерно 139.65 кв. см.