Из точки А, лежащей вне круга, проведены две касательные к нему, В и С - их точки касания. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника АВС лежит на исходной окружности.
Из точки А, лежащей вне круга, проведены две касательные к нему, В и С - их точки касания. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника АВС лежит на исходной окружности.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Проведем биссектрису угла А треугольника АВС. Обозначим точку их пересечения как D.
Так как BD и CD - касательные к окружности, то угол ADB = угол ACB (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).
Также угол BAD = угол CAD (как углы, образованные касательной и хордой).
Отсюда, треугольники ABD и ACD равны с углами на равных сторонах. То есть, AD - биссектриса угла A в треугольнике АВС.
Таким образом, точка пересечения биссектрис треугольника АВС лежит на исходной окружности, так как AD - это отрезок, соединяющий центр окружности с точкой пересечения двух касательных к окружности.