Пусть сторона треугольника, образующего основание пирамиды, равна a, тогда высота пирамиды равна h = sqrt(a^2 - (a/2)^2) = sqrt(3a^2/4) = a*sqrt(3)/2.

Объем пирамиды V = (1/3) S_основания h, где S_основания - площадь основания пирамиды.

Так как все ребра пирамиды равны между собой, то площадь основания равна S_основания = (a^2 * sqrt(3))/4.

Тогда объем пирамиды V = (1/3) (a^2 sqrt(3))/4 (asqrt(3)/2) = a^3 * sqrt(3) / 12.

Так как радиус вписанного шара равен корень из трех, диагональ основания пирамиды равна 2r = 2sqrt(3), т.е. a = 2sqrt(3)/sqrt(3) = 2.

Итак, V = 2^3 sqrt(3) / 12 = 8 sqrt(3) / 12 = 2 * sqrt(3).

Ответ: объем пирамиды равен 2 * sqrt(3).