Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Таллеса.

Из условия задачи известно, что отрезки AM, BM и CM являются поперечными в треугольнике ABC. Пусть N - точка пересечения биссектрис треугольника, которая проходит через точки B и C.

Так как треугольник BNC - равнобедренный, то BN = NC. Также, так как BNMC - параллелограмм, то BM = NC = 6 см.

Теперь возьмем треугольник ABM. По теореме косинусов найдем длину отрезка АМ:
AM^2 = AB^2 - BM^2
81 = AB^2 - 36
AB^2 = 117
AB = √117

Теперь возьмем треугольник АCN. По теореме косинусов найдем длину отрезка АС:
AC^2 = AN^2 + NC^2 - 2ANNCcos(∠ANC)
64 = AB^2 + 36 - 2√1176cos(∠ACB)
cos(∠ACB) = (AB^2 + 36 - 64)/(2√1176) ≈ 0.25
∠ACB ≈ arccos(0.25) ≈ 75.52°

Так как отрезок АК делит угол ∠ACB пополам, то он образует равнобедренный треугольник.
Таким образом, длина отрезка AK равна:
AK = ACsin(∠ACB/2) = 8sin(37.76°) ≈ 4.9 см

Итак, длина отрезка AK составляет около 4.9 см.