Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и пропорциями в треугольниках.

Посмотрим на треугольник DEF. Из теоремы Пифагора получаем:
DE^2 + EF^2 = DF^2,
4^2 + EF^2 = (8 + x)^2,
16 + EF^2 = 64 + 16x + x^2.

Теперь рассмотрим треугольник BEF:
BE^2 + EF^2 = BF^2,
10^2 + EF^2 = (8 + x)^2,
100 + EF^2 = 64 + 16x + x^2.

Выразим EF^2 из обеих уравнений:

EF^2 = 64 + 16x + x^2 - 16
EF^2 = 100 + 16x + x^2 - 64

Из обеих уравнений получаем:
64 + 16x + x^2 = 100 + 16x + x^2 - 64,
64 = 100 - 64,
64 = 36.

Полученное уравнение ложно, значит, допущена ошибка в вычислениях. Попробуем решить задачу другим способом.

Введем обозначения: EF = a, FD = b. Тогда ED = 4 + a, EC = 8 + b.

Так как точка F - точка пересечения, из подобия треугольников FEC и FBD получаем пропорцию:
FD / EF = BE / EC,
b / a = 10 / (8 + b).

Из данной пропорции найдем b через a:
b = 10a / (8 + b).

Посмотрим на треугольник DEF:
DE^2 + EF^2 = DF^2,
4^2 + a^2 = (8 + b)^2,
16 + a^2 = 64 + 16b + b^2.

Подставим найденное значение b в уравнение:
16 + a^2 = 64 + 16(10a / (8 + b)) + (10a / (8 + b))^2.

Выразим a из этого уравнения и найдем его численное значение. Далее подставим его в найденную выше пропорцию, чтобы найти значение b.