Для начала найдем радиус основания конуса по формуле, связывающей радиус конуса, его высоту и угол при вершине осевого сечения:

[r = h \cdot \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) = 12 \cdot \tan \left(\frac{120^\circ}{2}\right) \approx 12 \cdot \tan(60^\circ) \approx 12 \cdot \sqrt{3} \approx 20.784 \, см]

Площадь осевого сечения:
[S_1 = \pi r^2 = 3.14159 \cdot (20.784)^2 \approx 3.14159 \cdot 431.745 \approx 1356.381 \, см^2]

Площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 45°:
Проекция радиуса высоты (h) на поверхность основания равна (r\cdot\cos 45^\circ = 20.784\cdot\cos 45^\circ = 20.784\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 10.392) см.
Площадь сечения, проведенного через две образующие:
[S_2 = 2 \cdot r \cdot 10.392 = 2 \cdot 20.784 \cdot 10.392 \approx 430.521 \, см^2]

Площадь полной поверхности конуса:
[S_{полн} = S_1 + S_2 = 1356.381 + 430.521 \approx 1786.902 \, см^2]

Объем конуса:
[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3.14159 \cdot 20.784^2 \cdot 12 \approx \frac{1}{3} \cdot 3.14159 \cdot 432.33 \cdot 12 \approx 5476.263 \, см^3]

Итак, получаем:

Площадь осевого сечения: (1356.381\, см^2)Площадь сечения, проведенного через две образующие: (430.521\, см^2)Площадь полной поверхности конуса: (1786.902\, см^2)Объем конуса: (5476.263\, см^3)